O lado positivo do erro no processo de ensino aprendizagem de matemática no terceiro ano do Ensino Médio *

Adilson Motta** e Marlene Pires Amorim***

Resumo: Com este estudo objetivamos apontar as possíveis causas que ocasionam os erros no processo de Ensino da Matemática, caracterizando o erro como um processo de maturidade, oportunidade para o aluno desenvolver sua capacidade de pensar e resolver situações-problema, criar hipóteses e assim chegar a um novo conhecimento, alcançando o objetivo final. Neste aspecto, o professor possui o papel fundamental de instigar os alunos a refletirem sobre seus erros, estimulando os mesmos a raciocinarem de forma mais eficaz, onde estará participando ativamente do processo de aquisição de novos conhecimentos. A abordagem da pesquisa é qualitativa, visando entender o contexto social e individual de onde se origina o erro trazendo quais as causas dos mesmos. A partir dessas hipóteses e objetivos, conclui-se que o erro não deve ser tratado como um fracasso do aluno. Faz parte da educação os obstáculos encontrados no percurso escolar, sendo assim, o papel do professor é fundamental para que o aluno possa superar suas próprias dificuldades em busca de novos caminhos para solucionar o problema, superando seus próprios limites. Identificamos algumas causas dos erros no processo de ensino e aprendizagem, classificando as mesmas e identificando as categorias dos erros apresentados pelos alunos. Dessa forma, intencionamos contribuir para a superação das dificuldades de aprendizagem no processo de Ensino de Matemática no Ensino Médio, contribuindo para a obtenção de maior sucesso neste meio da Educação.

Palavras-chave: Matemática. Erro. Ensino e Aprendizagem.

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[1] O presente artigo, escrito em colaboração, tem por base o Trabalho de Conclusão de Curso realizado pelo primeiro autor (Motta, 2009), com orientação do segundo autor.

**Professor Graduado pelo Centro Universitário Barriga Verde – UNIBAVE. E-mail: adilson_motta@hotmail.com

*** Profa. Msc. Do Curso de Matemática do Centro Universitário Barriga Verde – UNIBAVE.

Introdução

Diante de estudos e leituras, deparamos com dificuldades encontradas por professores e alunos perante os erros encontrados no processo de ensino e aprendizagem, isso nos faz buscar alternativas para transformar o erro em uma estratégia de mudança e aprendizagem. Assim, o papel do erro passa a ser o centro das reflexões teóricas, afim de que, através das lógicas do erro, aproveitamos como um recurso pedagógico, eliminando os conflitos e o “medo” de errar, transformando em aprendizagem e não em algo irreversível.

Nota-se uma grande mudança em relação ao estudo do erro com o passar dos anos, onde o erro era visto como indicador de fracasso do aluno. Hoje, o erro é tratado como um fator decisivo para se chegar ao acerto, tornando-o um aliado do conhecimento.

Em geral, o erro era observado pelo professor como um indicador do mau desempenho do aluno, sem jamais ser utilizado para o redimensionamento do ensino. O que permeava o ensino era uma “pedagogia da resposta” em que o erro era o sintoma visível do fracasso do aluno, assim como o acerto era o sinal mais evidente de seu sucesso. (PINTO, 2000, p. 8)

Cabe ao professor a criatividade para transpor suas aulas de maneira com que os alunos sintam-se a vontade com a disciplina, formando uma espécie de desafio onde todos participam e buscam a superação das próprias dificuldades, discutindo sobre o assunto, levantando hipóteses para solucionar os problemas e obstáculos encontrados.

Dessa forma, o aluno que não possui o entendimento pretendido pelo professor, ou ainda aquele que erra constantemente, ou até aquele que pouco erra, mas de tal forma com que não conseguiu aprender ou superar seu próprio erro, não se deve rotulá-lo como o não detentor do conhecimento ou aquele que não possui inteligência, mas deve ser instigado a superar seu próprio erro, onde, como e porque errou, para futura transformação de um novo conhecimento pelo indivíduo.

Uma decorrência do principio construtivista é o fato de o erro apresentar-se como uma oportunidade didática para o professor organizar melhor seu ensino a fim de criar situações apropriadas para o aluno superar seus erros e apropriar-se dos conhecimentos necessários à sua cidadania. (PINTO, 2000, p. 11)

Assim, o artigo tem por fundamento principal, apontar as causas dos erros no processo de ensino e aprendizagem de matemática, tanto quanto buscar estratégias para transformar o erro em um processo positivo do conhecimento. Como salienta PINTO, 2000, p. 24, o erro deve ser reconhecido como elemento construtivo da construção do conhecimento, ou seja, errar é humano, aprender com os próprios erros é produzir conhecimento para si próprio, ainda na mesma página a autora afirma que: “Do ponto de vista didático, a compreensão do erro nessa perspectiva é uma oportunidade que se oferece ao professor para ajudar os alunos a aprenderem mais – o que implica dar um sentido ético ao trabalho docente”.

E para existir o erro a ser superado, anteriormente deve ter existido uma experiência ou um conhecimento não bem sucedido, ou seja, este foi alvo de erros e certas dificuldades, que para ser superado, obrigou a existir um novo conhecimento. Ou seja, o erro partiu de certo conhecimento, e exigiu um novo e mais eficaz para resolvê-lo, aqui encontramos o lado positivo e construtivo do erro. Cabe aos professores criar estratégias de ação visando à superação pelos alunos, enfatizando a didática do erro, e não simplesmente a pedagogia do êxito.

O erro não é somente o efeito da ignorância, da incerteza, do acaso, como se acredita nas teorias empiristas ou behavioristas da aprendizagem, mas o efeito de um conhecimento anterior, que tinha seus interesses, seu sucesso, mas que agora se revela falso, ou simplesmente inadaptado. Os erros desse tipo não são instáveis e imprevisíveis, eles são constituídos em obstáculos.  (BROUSSEAU, 1983, p.171).

Como diz TORRE (2007, p. 22): Vale mais desenvolver um pensamento crítico e criativo, que formar uma mente receptiva a respeito do que os outros dizem.

Os erros surgem para serem superados. Muitos cientistas famosos erraram ao concluir suas experiências, isso deu oportunidade para novos cientistas acabar o inacabado, e resolver o que foi problemático e errôneo.

Não se deve condenar ou ignorar o erro, mas sim, analisar seus efeitos para suas possíveis soluções. Um exemplo disso foi Colombo nas suas várias tentativas em descobrir terras, sendo que, várias delas foram equivocadas. Mas, não persistiu no erro, e sim, buscou soluções e novas rotas que o levou a descoberta da América.

Como escreveu Ferrière apud TORRE (2000, p. 22): Educar não consiste em aprender o que os outros fizeram, mas em aprender a fazer o que os demais não fizera.

Diante destas e outras questões, a finalidade principal do presente artigo é tentar responder a pergunta: Qual o lado positivo do erro no processo de ensino e aprendizagem de Matemática no terceiro ano do Ensino Médio?

Para responder esta pergunta objetivamos o artigo de forma geral em identificar as causas dos erros no processo da atividade escolar, assim como buscar estratégias para transformar o erro em um processo positivo do conhecimento.

Ainda, a pesquisa compreende mais alguns objetivos destacados como específicos, tais como:

- Explicar as possíveis causas dos erros no processo de ensino e aprendizagem da Matemática por meio bibliográfico;

- Analisar o erro no processo de aprendizagem de matemática com alunos do terceiro ano do ensino médio de uma Escola da rede Estadual do Município de Urussanga;

- Apontar o lado positivo do erro de forma que contribua para a superação da defasagem do ensino de Matemática.

2     Entre as contribuições sobre este assunto, conforme RICO, 1995, o destaque vai para Kuzmitskaya que distinguiu algumas causas dos acontecimentos dos erros, as quais serão utilizadas para análise das respostas dos alunos:

3     1 – a realização incorreta de uma operação, a qual reflete diretamente no processo inicial do aprendizado de Matemática, pois engloba as quatro operações básicas: adição, subtração, multiplicação e divisão;

4     2 – a compreensão conceitual insuficiente, a qual ocorre principalmente por duas situações: na primeira em que o professor não possui compreensão suficiente do conteúdo para poder transmitir da melhor maneira, ou o aluno que não se interessa pela aula e acaba se distraindo, não assimilando o assunto;

5     3 – a distração, que provoca erros mecânicos, onde o aluno não se dedica à aula, distraindo-se facilmente com outras ocasiões ou até com outros colegas, ou até por dificuldade de concentração;

6     4 – a aplicação indevida das regras algorítmicas, que abrange praticamente as três anteriores, pois a aplicação indevida se dá por motivos de falta de compreensão, falta de atenção, que acarreta na realização incorreta das operações.

Então, o propósito da pesquisa é trazer à tona, as estratégias para desvendar os erros, mostrando aos alunos como, onde e porque eles erraram. Buscando uma forma diferente de avaliá-lo, num processo onde o aluno aprenda com seus próprios erros, evitando apenas corrigir e adotar uma nota a cada resolução de atividades, e sim, analisando os erros como uma estratégia de mudança e superação.

O ERRO NO PROCESSO DE ENSINO E APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA

O erro está presente em tudo que fazemos, ele nos rodeia e nos dá a chance de contorná-lo e fazer dele um novo aprendizado, um novo conhecimento. A pessoa que erra e não tenta desvendar ou resolver este erro, vive em uma caixa escura onde a visão não alcança o sucesso. Uma pessoa que erra, que busca soluções, alternativas, novas maneiras de chegar ao êxito, alcança mais um degrau na escada do conhecimento, alavanca sua criticidade sobre o mundo, encontra estratégias para fugir do erro e o transforma em um aprendizado mais significativo, pois sabe onde errou, e por aquele caminho não se chega à solução.

É necessário construir uma nova epistemologia do erro, buscando sua racionalidade e sua irracionalidade. Se algumas descobertas têm origem em certos erros, isso se deve a atitude humana de indagar e refletir sobre as falhas cometidas. Desse modo, a atitude criativa permite transformar o fracasso em acerto. Enquanto a pedagogia do êxito atende basicamente aos resultados, a didática do erro leva implícita a reflexão e a revisão de tarefas, tanto do professor como do aluno. (TORRE, 2007, p. 28).

7     Importante ressaltar, que o trabalho em relação à questão do erro deve partir inicialmente nas séries iniciais da escola. Mas, é preciso ter cuidado ao corrigir os erros do aluno.

8     Na Matemática, por exemplo, devemos observar onde está a dificuldade do aluno, incentivando a corrigir seu próprio erro, pois uma correção inadequada como forma de punição e queda de nota, pode levar a auto-estima do aluno a níveis muito baixos, refletindo assim, num processo de ensino e aprendizagem ineficaz.

9     É importante o aluno perceber o erro e verificar a validade do acerto, bem como a aplicação de sua correção em sua vida prática. A Matemática por ser uma ciência exata, traz alguns receios de certos alunos em não poder errar em nada, mas, isso deve ser trabalhado de maneira com que os erros tornem-se parte do aprendizado do aluno, para que futuramente, os erros façam parte apenas de experiências a serem testadas.

10 A Matemática está presente em vários ramos profissionais, os quais não admitem erros sucessivos, assim, o erro deve ser trabalhado na escola a fim de serem evitados futuramente.

11                        Como nos afirma TYMOCZKO, 1994, p. 330: Os negócios não poderiam existir em sua forma histórica sem alguma matemática. Certamente não podemos imaginar uma economia moderna operando sem a Matemática e então, tornando-se mais eficiente devido à introdução da Matemática.

12 Assim sendo, a escola, mais precisamente o professor, tem papel principal na correção dos erros, fazendo deles um instrumento de aprendizagem e transformação do saber. Ressaltamos que o aluno deve aprender com seus próprios erros de forma gradativa e sem pressão.

Segundo BORASI (1996) em sua consideração de que, se os alunos são pressionados pelo sistema escolar, os erros por ele cometidos são frustrantes, porque os fazem perder tempo e despender esforços na tentativa de evitar a reprovação. No entanto, se a ênfase da avaliação dos estudantes se desloca do produto para o processo, há a possibilidade de que os erros cometidos venham a ser discutidos e possam ser fonte de novas aprendizagens.

Para que o processo de ensino e aprendizagem possua uma boa significação, a relação em sala de aula também deve ser discutida, a relação professor-aluno é de fundamental importância para este processo, o aluno deve sentir-se a vontade para questionar, criticar e colocar suas opiniões, e por outro lado, o professor deve estar aberto a estes questionamentos interagindo com seus alunos.

Assim, os educadores por sua parte devem estar certos e convictos da sua importância no papel de mediador do conhecimento, deve ser a pessoa a qual os alunos sintam-se à vontade para expressar suas opiniões, colocar suas dificuldades e expor suas idéias.

Ao aprender matemática, o estudante recebe estímulos contínuos associados a ela – problemas, atuações do professor, mensagens sociais, etc. – que geram nele certa tensão. Diante destes estímulos reage emocionalmente de forma positiva ou negativa. Essa reação está condicionada por suas crenças sobre si mesmo e sobre a matemática. Se o indivíduo depara-se com situações similares repetidamente, produzindo o mesmo tipo de reações afetivas, então a ativação da reação emocional (satisfação, frustração, etc.) pode ser automatizada e se “solidificar” em atitudes. Essas atitudes e emoções influem nas crenças e colaboram para sua formação. (CHACÓN, 2003, p.23)

Portanto, o professor deve saber que, de qualquer forma, será sempre o espelho do aluno, a referencia na qual os mesmos avaliar-se-ão no futuro, e esta avaliação pode ser tanto positiva, quanto negativa, cabe ao professor fazer sua reputação diante dos seus discentes.

Contudo, o professor deve saber que não é o dono do conhecimento, da verdade, e que seu papel é ao mesmo tempo de educador e de aprendiz, pois o ser humano vive de novos aprendizados e conhecimentos.

Na medida em que o educador consegue deixar os alunos à vontade, para poderem se expressar, os mesmos começam a sentir o gosto pelo estudo, tirando um pouco aquele medo da consciência de que a Matemática é um “bicho de sete cabeças”. Dessa forma, o aluno entende que o educador não é o único a deter o conhecimento, e que ele também está no mesmo processo de ensino e aprendizagem constantemente.

Segundo GADOTTI, 1999, p. 2: O educador para pôr em prática o diálogo, não deve colocar-se na posição de detentor do saber, deve antes, colocar-se na posição de quem não sabe tudo, reconhecendo que mesmo um analfabeto é portador do conhecimento mais importante: o da vida.

Da mesma forma que o educador não pode ser tratado e visto como o dono do conhecimento nesse processo de interação, o mesmo deve saber que o conhecimento é algo a ser apropriado, transformado, não é algo a ser transferido de pessoa para pessoa.

ATIVIDADES PARA OS ESTUDANTES DO TERCEIRO ANO DO ENSINO MÉDIO, OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS.

Com o objetivo de analisar os erros na resolução de atividades que compreendem o estudo das operações com polinômios, aplicamos algumas questões de adição, subtração e multiplicação de polinômios, conteúdos abordados até o momento da pesquisa.

Foram pesquisados seis alunos das turmas 3001 e 3002 da Escola de Educação Básica Caetano Bez Batti, localizada no Bairro da Estação, em Urussanga – SC. Os pesquisados em questão se encontram na faixa etária de dezesseis a dezoito anos.

A pesquisa foi aplicada em horário extra aula, com liberação do Diretor da Escola, conseguimos uma sala disponível no período noturno, para que os seis alunos envolvidos na pesquisa, pudessem desenvolver as questões mais tranqüilos.

A pesquisa foi realizada em apenas uma noite, sendo que as questões desenvolvidas pelos alunos foram analisadas uma única vez, com o objetivo de verificar os erros cometidos pelos alunos e obter as causas dos mesmos.

Para análise das questões resolvidas pelos alunos, utilizamos principalmente o material desenvolvido por RICO, 1995, que destacamos como categorias de análise:

1 – a realização incorreta de uma operação;

2 – a compreensão conceitual insuficiente;

3 – a distração, que provoca erros mecânicos;

4 – a aplicação indevida das regras algorítmicas.

Na pesquisa foram elaboradas duas questões, com tens a e b cada uma, sendo as duas primeiras envolvendo adição e subtração de polinômios, e as duas últimas envolvendo a multiplicação.

A primeira questão (letra a) teve acerto em 83% dos casos, sendo que apenas um aluno errou parcialmente essa questão, por este motivo, não implica em uma análise de erros já que a maioria acertou.

Em Anexo A será possível a visualização de todas as questões realizadas pelos alunos.

Na primeira questão (letra b) por sua vez, foi detectado apenas um acerto, ou seja, 83% dos casos obtiveram erros. A figura 1 abaixo indica o desenvolvimento do primeiro aluno.

O enunciado da questão de número 1 dizia o seguinte:

QUESTÃO 1: Considere P(x) = 2x4 + 3x2 + 4x + 1, Q(x) = 2x3 + 5x2 – x – 3 e G(x) = – 2x4 – 7x2 + x – 10 e diga qual o grau dos seguintes polinômios:


Figura 1: Primeira questão da pesquisa – Primeiro aluno.

Notamos no desenvolvimento dessa questão pelo primeiro aluno, a desorganização dos números, o que em muitos casos acarreta na má interpretação dos mesmos e principalmente dos sinais, já que se trata de subtração de polinômios, os sinais são fatores fundamentais para serem observados.

Os valores circulados em vermelho estão errados, os demais valores estão corretos. O aluno separou corretamente as variáveis, (2 + 2) x4 = 4x4; (- 2) x3 = -2x3; (3 – 5 + 7) x2 = 10x2 onde o correto seria 5x2, e nas demais variáveis repetiu os mesmos erros. Portanto, esse caso está relacionado, dentro da nossa pesquisa, na causa número 1 (realização incorreta de uma operação).

Esse caso deve ser visto como um procedimento comum entre os alunos, mas deve ser trabalhado para não repetir esses erros, levando o aluno a encontrar seu próprio equívoco e transformar em aprendizado para não mais cometer.

Figura 2: Primeira questão da pesquisa – Segundo aluno.

A figura 2 acima traz a resolução da mesma questão pelo segundo aluno, nesse caso, ele resolveu primeiramente a subtração entre P(x) – Q(x) e o resultado subtraiu com a G(x).

Na primeira subtração está totalmente correto, já na resolução com a G(x) o aluno não seguiu a mesma situação, confundindo os sinais e comprometendo a questão, é o que acontece na variável x2, onde – 2x2 – (-7x2) resultaria em 5x2. Nesta situação, o aluno não visualizou que no polinômio acima havia uma variável x2 não realizando a operação.

E no último termo errou a questão dos sinais, onde 4 – (-10) seria igual a + 14. Esse caso pode ser classificado como a causa número 3 (a distração, que provoca erros mecânicos). Não classificamos como um problema grave, pois notamos que o aluno entendeu o conceito da operação, mas deve ser trabalhado a questão da atenção na realização das atividades, o que implica muito na superação desses equívocos.

Já na figura 3 abaixo, o aluno acertou parcialmente as operações, mas errou todas as regras de sinais, como nesse caso é utilizada a subtração, o entendimento das funções dos sinais é primordial.

A única operação que esse aluno errou foi a de resultado 9x2, que pelo equívoco dos sinais chegou a essa conclusão. Pois, o correto seria: (3 – 5 + 7)x2 que resultaria em 5x2, certo de que ele errou toda a questão por motivo de sinais, caracterizamos o erro como a causa de número 2 (compreensão conceitual insuficiente).

As demais resoluções repetem os erros acima citados, os quais poderemos observar em uma tabela com os erros mais comuns apresentados, ao fim da análise das questões.

Já na segunda questão acontecem alguns casos um tanto quanto curiosos por serem alunos já do terceiro ano do ensino médio, que pedia o seguinte:

QUESTÃO 2: Sendo os Polinômios P(x) = x3 – x e Q(x) = 3×4 + 6×3 – x2 + 2x – 4, calcule:

Mostraremos na sequência o desenvolvimento do quinto aluno, pelo motivo de algo curioso na resolução. Notemos a figura 4 acima, a multiplicação está toda correta, na realização da junção dos termos semelhantes pelos métodos de adição e subtração, houve um equívoco, onde o aluno manteve o sinal, somou os expoentes e a variável continuou na mesma quantidade.

Neste caso, pode-se considerar a causa número 4 dos erros, a aplicação indevida das regras algorítmicas, pois como foi demonstrado o correto procedimento do conceito de multiplicação, há compreensão do conceito de adição e subtração, pois a questão número 1 da pesquisa este aluno acertou 100%.

Mas, ainda podemos analisar esse caso em uma outra causa de erro, a de número 3 (a distração, que provoca erros mecânicos). Entende-se como uma situação por distração, tendo em vista que, ora o aluno resolve com eficiência aplicando corretamente as operações, mas ao fim da resolução, distraiu-se e cometeu o erro apresentado na questão.

Ainda na segunda questão, item a, encontro outros erros, como nos mostra a figura 5 abaixo, na resolução do aluno número um:

Essa resolução é mais uma curiosidade, mais um desafio para o entendimento da pesquisa. O aluno resolveu x3. x3 = x9, ou seja, aplicou a multiplicação tanto para a base quanto para o expoente, mas ainda o mais curioso é que nas demais multiplicações não aconteceu o mesmo procedimento, e assim, não consigo compreender de onde ele retirou o – 2x3.

Neste caso cabe determinar esse tipo de erro em todas as quatro causas existentes, pois no processo de multiplicação de polinômios não há entendimento, não há compreensão, não houve atenção e não houve a aplicação correta das operações, a não ser ao final da resolução, onde a adição dos termos semelhantes está correta.

Este caso deve ser trabalhado em sala de aula, fazendo com que o aluno realmente compreenda o conceito de multiplicação de polinômios, e até as regras básicas de multiplicação de variáveis com expoente.

A resolução do segundo aluno (figura 6), também é um caso que nos chamou a atenção. Ainda na questão dois, item a, vejamos o desenvolvimento do aluno, abaixo:

Considera-se neste caso, que o aluno não compreende os procedimentos do conceito de multiplicação de polinômios, pois não havia colocado entre parênteses os polinômios a serem multiplicados, o que dificulta e muito no desenvolvimento da operação.

Atribui-se a essa situação, as causas de número 1 e 2 (a realização incorreta de uma operação e a compreensão conceitual insuficiente).

No desenvolvimento dos cálculos do terceiro aluno (figura 7), podem-se visualizar mais algumas dificuldades encontradas nessa operação de multiplicação:

Este aluno quase chegou a resolução correta da questão, se não fosse ao ato da multiplicação de uma variável com expoente três com uma variável de expoente um (x3. x = x3), não ter considerado a variável aparentemente sem expoente, com valor um. Noto que o aluno compreendeu o conceito de multiplicação de que se deve somar os expoentes, situação essa apresentada na própria resolução da questão, mas houve a desatenção em relação a esse aspecto.

Podemos definir para este aluno a causa de número 3 (a distração, que provoca erros mecânicos). Talvez a pressa de resolver a questão ou até seria necessário retomar com esse aluno o fato de que, quando uma variável não possui nenhum expoente, esse mesmo sempre será 1. Mas, por ser um aluno de terceiro ano do ensino médio, provavelmente ele tem conhecimento desse caso, por isso, analisamos como falta de atenção.

Ainda na questão número dois, mas agora no item b, obtive um percentual de erro máximo, ou seja, 100% dos alunos pesquisados erraram essa questão. Verificamos o desenvolvimento do primeiro aluno na figura 8 abaixo:

Neste caso, repetem-se as quatro causas de erros existentes, já a princípio, o aluno não soube fazer a organização dos termos a serem multiplicados, não há entendimento do conceito, da operação e demonstrou desatenção.

O segundo aluno nem resolveu a questão, apenas repetiu os polinômios e não aplicou nenhuma operação.

Observamos a resolução do terceiro aluno na figura 9 abaixo:

Na resolução deste aluno existe toda a compreensão do conceito de multiplicação de polinômios, desde a organização dos termos a serem multiplicados até a resolução da operação.

O único equívoco deste aluno foi na multiplicação dos termos (-x . 2x), onde ele obteve o resultado de – 2x3, o que resultou no erro do resultado final, onde o resultado dessa multiplicação deveria ser – 2x2.

Portanto, a causa desse erro foi simplesmente a falta de atenção nos expoentes, o que acarreta na causa de número 3 (a distração, que provoca erros mecânicos), e pra ajudar a comprovar essa causa, o aluno designou o grau do polinômio, o que não era pedido no enunciado.

Na resolução do quarto aluno, figura 10, observo mais uma vez a falta de atenção do aluno ao desenvolver uma atividade. Ele só errou ao transportar os polinômios a serem multiplicados, e na segunda linha do desenvolvimento ele apenas copiou os polinômios do enunciado para efetuar a operação, mas esquece de copiar o expoente da terceira variável do segundo polinômio.

Por fim, isso acarretou na anulação de toda a questão, pois toda a multiplicação ficou errada. Neste caso, mais uma vez temos a causa de erro número 3 (a distração, que provoca erros mecânicos).

O quinto aluno repete um erro já mencionado em situações acima, vejamos a figura de número 11 abaixo que traz a resolução da atividade:

Mais uma vez na multiplicação de uma variável de expoente um, o aluno resolveu assim: (x3. 2x = 2x3). Dessa forma, desencadeou de forma errada todo o restante da questão.

Este caso mais uma vez enquadro na causa de número 3 (a distração, que provoca erros mecânicos). Este erro parece ser comum com esta turma onde a pesquisa foi aplicada, portanto, recomenda-se um aprofundamento do conceito de exponencial, que é visto ainda no Ensino Fundamental e também nas primeiras séries do Ensino Médio.

Por fim, o sexto e último aluno repete o erro do aluno de número quatro, que ao copiar o polinômio para efetuar a multiplicação, esquece do expoente dois na terceira variável do segundo polinômio. Portanto, designamos nesta situação, a causa de erro número 3 (a distração, que provoca erros mecânicos).

Diante do resultado da pesquisa, elaboramos uma tabela para saber qual a causa de erro que prevalece dentre a amostra de alunos da população de cinqüenta e dois alunos do terceiro ano do Ensino Médio Matutino da Escola de Educação Básica Caetano Bez Batti.

Causas dos erros

Quantidade de alunos na causa

1 – a realização incorreta de uma operação 4
2 – a compreensão conceitual insuficiente 4
3 – a distração, que provoca erros mecânicos 9
4 – a aplicação indevida das regras algorítmicas 3

Tabela 1: Levantamento das causas de erros que prevalecem na pesquisa

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Concretizamos com essa pesquisa a discussão do caráter construtivo e positivo do erro no processo de ensino e aprendizagem, mostrando que não estamos isentos de erros, tanto na vida cotidiana, quanto na vida escolar.

Os erros podem existir sem o conhecimento do indivíduo. Portanto, devemos mudar nossa atitude de pensar e agir perante nossos erros. E para nós educadores e futuros educadores, começa aqui uma nova prática pedagógica e um novo conceito de ética.

É o que nos diz TORRE (2007, p. 214), quando cita Popper (1991) de que os erros podem existir ocultos do conhecimento de todos. Assim, a tarefa específica do cientista é identificar tais erros. Portanto, temos de mudar nossa atitude para com nossos erros. O princípio básico é que, para evitar equívocos, devemos aprender com nossos próprios erros.

O processo de aprendizagem é repleto de altos e baixos, o qual devemos envolver tentativas, hipóteses, levantamento de suposições, análise de erros, considerando que todos erram em suas tentativas de aprendizagem, mas, aprendem novamente tentando corrigi-los, refletindo sobre o mesmo, chegando a uma nova conclusão, portanto, um novo conhecimento.

Precisamos compreender o papel positivo e construtivo do erro, tornando-o um instrumento inovador. É impossível avançar por um determinado caminho do conhecimento sem se equivocar, não existe aprendizagem sem erros.

O erro é um processo de evolução do ser humano. Para os professores, cabe o papel de conhecer o aluno, e para isso deve buscar conhecer a realidade do mesmo, tentar entender como esse aluno pensa, como ele erra, e porque ele erra.

Dessa forma, obtemos um êxito na prática pedagógica onde transformamos o erro de fracasso para superação. Como afirma PINTO, 2000, p.168, Diagnosticar o erro do aluno sem a devida contextualização, não levando em conta quem erra e por que se erra, é desconhecer o fato de que os erros são produtos históricos.

Por fim, a pesquisa mostra como resultado que, na maioria dos casos a causa do erro foi a distração, que provoca erros mecânicos. Partindo deste princípio, temos como resposta que para a superação deste erro, o professor deve buscar mais a atenção dos alunos em sala de aula, e tentar tornar a aula o mais interessante possível, interagindo com os alunos, deixando os alunos participarem ativamente das aulas.

Quanto às demais causas dos erros salientadas neste trabalho, entende-se que para superá-los, é necessário retomar ao conteúdo sempre que possível, na aplicação de atividades, trabalhos, provas entre outros.

O erro deve ser estudado de forma individual, na correção das atividades, e retomado em sala de aula, fazendo com que o próprio aluno tenha papel ativo na correção de seu próprio erro, tentando superá-lo da melhor maneira possível.

Conclui-se que, a melhor maneira de se utilizar do erro, fazendo com que ele se transforme num instrumento de superação, de estratégias de mudança e aperfeiçoamentos, é a de analisar de forma individual, ou seja, nas correções das atividades em geral, onde o aluno errou e tentar entender o porquê de se expressar daquela forma, e trazer para a sala de aula o debate e discussões, se necessário retomando o conteúdo para um melhor entendimento.

Para que isso aconteça de forma eficaz, os professores devem estar preparados para tal projeto, pois a partir do momento em que o professor trabalha o erro do aluno como um instrumento de superação e não de fracasso, adota outras formas de avaliação e não simplesmente o recurso de notas para punir o aluno que errou.

Segundo TORRE (2007, p. 222), no pensamento dos estudantes coexistem dois conceitos contrapostos: o caráter penalizador, e portanto, evitativo dos erros, e sua dimensão construtiva. Os erros mantêm fortes conotações regressivas em relação às provas; ao mesmo tempo, os alunos falam deles como instrumento de aprendizagem.

Com isso, os professores devem considerar os erros como um caminho no processo de aprendizagem dos alunos, e adotar novas formas de avaliar esses trajetos dos alunos no momento do ensino.

Mobilizar o professor para observar melhor o erro do aluno é instigá-lo a uma prática reflexiva, em que possa desenvolver sua criatividade, seu espírito critico e cooperativo, no dialogo com todos os agentes escolares, rompendo com o individualismo e a rotina e, ao mesmo tempo, criando os laços de confiança necessários à sua autonomia docente. (PINTO, 2000, p. 173)

Dessa forma, com professores comprometidos em realmente transformar o aprendizado e o conhecimento, e com alunos participativos e ativos no processo de ensino e aprendizagem, conseguimos realmente transformar o erro em um processo positivo no aprendizado escolar e também da vida cotidiana das pessoas.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BORASI, Raffaella. Reconceiving mathematics Instruction: a Focus on Errors. Norwood, NJ: Ablex Publishing Corporation, 1996.

BROUSSEAU, G. Les obstacles epistemologiques et les problemes en mathematiques. Recherches en Didactique des Mathématiques, v. 4, n. 2, p. 165-198, 1983.

CHACÓN, Inés Mª Gómes. Matemática Emocional: os afetos na aprendizagem matemática. Trad. Daisy Vaz de Moraes. Porto Alegre: Artmed, 2003.

GADOTTI, M. Convite à leitura de Paulo Freire. São Paulo: Scipione, 1999.

PINTO, Neuza Bertoni. O erro como estratégia didática: Estudo do erro no ensino da matemática elementar / Campinas, SP: Papirus, 2000.

RICO, L. Errores en el Aprendizaje de las Matemáticas. In: KILPATRICK J. ; GOMEZ P. ; Rico, L. Educación Matemática. Colômbia: Grupo Editorial Iberoamérica, 1995. p. 69-108.

TORRE, Saturnino de la. Aprender com os erros: o erro como estratégia de mudança / tradução Ernani Rosa. – Porto Alegre: Artmed, 2007.

TYMOCZKO, T. (1994). Structuralism and Post-modernism in the Philosophy of Mathematics. Em Paul Ernest (Ed), Mathematics, Education and Philosophy: an International Perspetive (49- 55). The Falmer Press.

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